Structure mât d'éclairage
1 Géométrie du mât
≤ 50 m
2 Luminaires et crosse
3 Vent (NBN EN 1991-1-4 + ANB)
De 26 m/s au littoral à 23 m/s au sud-est : carte de la fiche CSTC/NBN.
Annexe B (normative en Belgique) : rafales et résonance du mât — fréquence propre n₁ = 0,79 Hz
4 Ancrage en pied
≥ 3, sur un cercle
5 Flèche et fatigue
Pré-dimensionnement d'un mât console encastré, conique, d'épaisseur constante, selon les Eurocodes. La NBN EN 1991-1-4 renvoie les candélabres à la série EN 40 : la vérification NBN EN 40-3-3 et le marquage CE (NBN EN 40-5) restent du ressort du fabricant.
Vue schéma
MEd (pied)
142,4 kN·m
Flèche
847 mm
cscd
1,13
Classe
1
Masse
715 kg
Moment
142,43
kN·m
Tranchant
12,30
kN
Normal
10,46
kN
Vérification globale
Taux d'utilisation le plus élevé parmi les 2 vérifications listées ci-dessous.
253,7 / 355 MPa · NBN EN 1993-1-1 § 6.2
Ft,Ed 209,3 / Ft,Rd 322,9 kN · NBN EN 1993-1-8 tab. 3.4
Calculer un mât d'éclairage en Belgique : les Eurocodes et la série EN 40
Mis à jour le
Le vent est la sollicitation qui dimensionne un mât d'éclairage : il crée en pied un moment de flexion qui gouverne le fût, les tiges d'ancrage et le massif. Un mât est aussi une structure souple et peu amortie, qui entre en résonance sous les rafales : le calcul doit en tenir compte.
En Belgique, le candélabre d'éclairage public est un produit normalisé : la série NBN EN 40 fixe ses charges, sa vérification et son marquage CE, et la NBN EN 1991-1-4 lui renvoie expressément. Le cahier général des charges de Synergrid pour la fourniture de candélabres reprend ce cadre et confie au fabricant le dimensionnement des tiges de fixation.
Cet outil répond à une autre question : pré-dimensionner un mât selon les Eurocodes et leurs annexes nationales belges, pour un avant-projet, le contrôle d'une offre ou un mât de plus de 20 m, au-delà du domaine de la NBN EN 40-3-1. Il donne la section du fût, la flèche, les tiges d'ancrage et les efforts à transmettre au massif, avec la note de calcul en PDF.
La méthode de calcul pas à pas
Pression dynamique de pointe (NBN EN 1991-1-4 + ANB)
La vitesse de référence vb,0 se lit sur la carte de l'annexe nationale belge : 26, 25, 24 ou 23 m/s, de la côte vers le sud-est. La pression de pointe qp(z) croît avec la hauteur et dépend de la rugosité du terrain, de la catégorie 0 (bord de mer) à la catégorie IV (ville dense). L'outil la calcule tranche par tranche, avec la formule de la fiche Eurocode du CSTC et du NBN :
Pression dynamique de pointe
qp : pression de pointe (N/m²) · Iv : intensité de turbulence, avec le facteur kI de l'ANB · vm : vitesse moyenne, 0,19 × vb,0 × (z0/0,05)^0,07 × ln(z/z0) · z0 : rugosité du terrain
| Catégorie de terrain (ANB) | z₀ | z_min |
|---|---|---|
| 0 — Mer ou zone côtière exposée aux vents de mer | 0,003 m | 1 m |
| I — Lacs, zone plate sans obstacle | 0,010 m | 1 m |
| II — Végétation basse, obstacles isolés (≥ 20 fois leur hauteur) | 0,050 m | 2 m |
| III — Villages, zones suburbaines, forêts | 0,300 m | 5 m |
| IV — Au moins 15 % de bâtiments de plus de 15 m | 1,000 m | 10 m |
Coefficients de force du fût et des luminaires
Chaque tranche du fût reçoit Fw = cscd × cf × qp(ze) × Aref, avec ze le haut de la tranche. Pour un polygone, la largeur de référence est le diamètre du cercle circonscrit : 8,2 % de plus que la cote sur plats d'un octogone. Le coefficient cf,0 du tableau 7.11 dépend du nombre de côtés, de la finition des angles et du nombre de Reynolds, calculé avec la vitesse moyenne :
| Côtés | Finition | Nombre de Reynolds | c_f,0 |
|---|---|---|---|
| 6 | toutes | toutes | 1,60 |
| 8 | angles vifs (r/b < 0,075) | Re ≤ 2,4·10⁵ | 1,45 |
| 8 | angles vifs (r/b < 0,075) | Re ≥ 3·10⁵ | 1,30 |
| 8 | angles arrondis (r/b ≥ 0,075) | Re ≤ 2·10⁵ | 1,30 |
| 8 | angles arrondis (r/b ≥ 0,075) | Re ≥ 7·10⁵ | 1,10 |
| 10 | toutes | toutes | 1,30 |
| 12 | lisse, angles arrondis | 2·10⁵ < Re < 1,2·10⁶ | 0,90 |
| 12 | autres cas | Re < 4·10⁵ | 1,30 |
| 12 | autres cas | Re > 4·10⁵ | 1,10 |
| 16 à 18 | lisse, angles arrondis | Re < 2·10⁵ | comme un cylindre |
| 16 à 18 | lisse, angles arrondis | 2·10⁵ ≤ Re < 1,2·10⁶ | 0,70 |
Entre deux seuils de Reynolds, le tableau ne donne pas de valeur : l'outil garde la plus forte. Pour un tube rond, la figure 7.28 donne cf,0 = 1,2 aux faibles vitesses, puis une chute en régime critique, et une remontée qui dépend de la rugosité k : 0,2 mm pour l'acier galvanisé, 0,006 mm pour une peinture fine. La réduction pour effet d'extrémité n'est pas appliquée (ψλ = 1, côté sûr). Pour les luminaires, à défaut de donnée du fabricant, l'outil propose cf = 1,8, la valeur d'un panneau plein.
Coefficient structural cscd (annexe B)
L'annexe nationale rend l'annexe B normative en Belgique ; l'annexe C n'y est pas d'application. Le coefficient structural combine la part quasi statique des rafales (B²) et leur part résonnante (R²), à la hauteur de référence zs = 0,6 h :
Coefficient structural
kp : facteur de pointe · Iv(zs) : intensité de turbulence · B² : réponse quasi statique · R² : réponse résonnante, fonction de la fréquence propre n1 et de l'amortissement δ
La fréquence propre n1 est calculée par la méthode de Rayleigh sur le fût conique, luminaires compris. L'amortissement additionne une part structurale, prise à δs = 0,012 (cheminée en acier soudé du tableau F.2, qui ne cite pas les mâts), et une part aérodynamique qui dépend de la masse du mât. Un mât de rue léger a un cscd supérieur à 1 : la résonance l'emporte sur l'effet de dimension.
Résistance du fût (NBN EN 1993-1-1)
Les efforts de calcul suivent la combinaison 6.10 de la NBN EN 1990 et de son ANB : 1,35 G + 1,5 W pour le fût, et 1,0 G + 1,5 W quand le poids soulage, comme pour la tige d'ancrage la plus tendue. Chaque section du fût est vérifiée, pas seulement le pied :
Contrainte de calcul
NEd : poids au-dessus de la section · MEd : moment du vent et des luminaires sur la crosse · A, Wel : section brute ou efficace · γM0 = 1,0, valeur recommandée de l'EN
La classe de section vient du tableau 5.2 : d/t ≤ 90 ε² pour un tube, c/t ≤ 42 ε pour la facette la plus comprimée d'un polygone. Au-delà, la paroi est de classe 4 et voile avant de plastifier : la résistance est réduite, comme expliqué plus bas.
Flèche, tiges d'ancrage et massif
La flèche en tête s'obtient en intégrant deux fois la courbure M/EI le long du fût, sous le vent caractéristique. Les tiges sont vérifiées en traction et en cisaillement selon le tableau 3.4 de la NBN EN 1993-1-8, sur la section résistante du filetage ; leur longueur d'ancrage suit la NBN EN 1992-1-1. Les efforts en pied sont donnés au bureau d'études qui justifie le massif selon la NBN EN 1997-1.
Exemple chiffré : mât de rue octogonal de 8 m, zone 26 m/s
Fût octogonal 180/90 mm, paroi de 3 mm en S235, un luminaire de 15 kg et 0,15 m² sur une crosse de 0,5 m, terrain de catégorie II. Les valeurs ci-dessous sont celles que l'outil calcule.
| Grandeur | Valeur |
|---|---|
| Pression de pointe en tête q_p(8 m) | 0,932 kN/m² |
| Coefficient de force en pied (octogone à angles vifs) | 1,45 |
| Fréquence propre n₁ | 2,22 Hz |
| Coefficient structural c_sc_d | 1,20 |
| Moment de calcul en pied M_Ed | 12,4 kN·m |
| Contrainte en pied / résistance | 166 / 235 MPa (71 %) |
| Flèche en tête sous vent caractéristique | 143 mm (H/56) |
Voilement local : quand la paroi ne compte pas en entier
Un mât est un tube à paroi mince : 3 à 6 mm pour 150 à 600 mm de diamètre. Sous la flexion, la paroi comprimée peut onduler avant que l'acier n'atteigne sa limite d'élasticité. C'est le voilement local, et c'est la classe 4 de la NBN EN 1993-1-1.
Un mât polygonal est un assemblage de facettes planes. Chacune est traitée comme une plaque appuyée sur ses deux plis, selon la NBN EN 1993-1-5. La facette la plus comprimée l'est presque uniformément sur sa largeur : son coefficient de voilement vaut kσ = 4. Si son élancement dépasse 0,673, sa largeur efficace est réduite par ρ :
Largeur efficace d'une facette
c : largeur de la facette, D × tan(π/n) · t : épaisseur · ε = √(235/fy) · kσ = 4 (compression uniforme)
| Section | c/t | λ̄p | ρ |
|---|---|---|---|
| Octogonale 300 × 3 mm, S355 | 41 | 0,896 | 0,84 |
| Octogonale 500 × 4 mm, S355 | 52 | 1,120 | 0,72 |
| Hexagonale 250 × 3 mm, S235 | 48 | 0,847 | 0,87 |
L'outil applique ρ à toute la section, côté tendu compris : c'est plus sévère que la norme, qui ne réduit que les parois comprimées.
Un mât rond de classe 4 (d/t > 90 ε², soit d/t > 60 en S355) est une coque. La NBN EN 1993-1-6 compare sa contrainte de compression à une résistance au voilement réduite par χx. Ce coefficient dépend de la qualité de fabrication : classes A, B ou C, de la plus soignée à la plus courante. Le coefficient partiel recommandé est γM1 = 1,1. Le fût est traité comme un cylindre long, avec le facteur Cx = 0,60 de l'annexe D.
Comment ce calcul est vérifié
Le moteur est couvert par une suite de tests automatisés, adossés à des références extérieures plutôt qu'à ses propres résultats.
- La pression du vent est celle de l'annexe nationale belge. La formule de la fiche Eurocode du CSTC et du NBN est réécrite indépendamment du moteur. Elle donne les mêmes pressions pour les quatre zones de vent et les cinq catégories de terrain.
- Les coefficients de force sont ceux de la norme. Le tableau des sections polygonales et la courbe des cylindres sont repris dans les tests, sur toute la plage utile de vitesses et pour quatre rugosités. Pour un cylindre lisse de 1 m, l'outil donne 0,557 là où la lecture de la figure donne 0,55.
- Le coefficient structural est recalé sur un exemple publié. L'exemple chiffré du guide européen « Steel Buildings in Europe » (cscd = 0,773) est refait étape par étape. L'écart final est de 0,09 %.
- La fréquence propre est comparée aux solutions exactes de la poutre console. L'écart est de 0,4 % pour un tube droit, de 0,2 % avec une masse en tête, et de 1,5 % avec la formule des cheminées en acier de la NBN EN 1991-1-4.
- Les résistances suivent les formules des normes, réécrites à part. Classes de section, largeur efficace des facettes, voilement des tubes minces et résistance des tiges sont recalculés hors du moteur. Une tige M30 de classe 8.8 résiste à 323 kN en traction, et les sections de filetage sont celles des tables du commerce.
- Une saisie incomplète ne produit jamais de résultat. Champ vide, valeur négative, sommet plus large que la base ou hauteur au-delà de 50 m : l'outil s'abstient. Un calcul enregistré avec une zone de vent française se rouvre sur 26 m/s, la zone belge la plus sévère.
Références
- NBN EN 1991-1-4:2005 + A1:2010 et NBN EN 1991-1-4-ANB:2010 — Eurocode 1, actions du vent : coefficient structural (§ 6.3 et annexe B), sections polygonales (§ 7.8, tableau 7.11), cylindres (§ 7.9.2, figure 7.28, rugosités du tableau 7.13), caractéristiques dynamiques (annexe F). Le § 1.1 (11) renvoie les candélabres à l'EN 40. Vitesses de référence, catégories de terrain et facteur de turbulence de l'ANB lus dans la fiche Eurocode EN 1991-1-4 du CSTC et du NBN (avril 2012), qui rend les annexes A, B, E et F normatives en Belgique.
- NBN EN 1990:2002 + A1:2006 et NBN EN 1990-ANB:2013 — combinaison 6.10 et coefficients partiels des actions, d'après la fiche Eurocode EN 1990 du CSTC et du NBN (août 2014).
- NBN EN 1993-1-1:2005 + A1:2014 et NBN EN 1993-1-1-ANB:2010 — classes de section (tableau 5.2) et résistance des sections (§ 6.2). Les coefficients γM sont les valeurs recommandées de l'EN : l'annexe nationale belge n'est pas en accès libre.
- NBN EN 1993-1-5, NBN EN 1993-1-6, NBN EN 1993-1-8 et NBN EN 1993-1-9 — largeur efficace des plaques (§ 4.4), voilement des coques cylindriques (§ 8.5 et annexe D), résistance des boulons et tiges (tableau 3.4), fatigue (tableau 3.1).
- NBN EN 1992-1-1 + ANB — adhérence et longueur d'ancrage (§ 8.4), avec γc = 1,5 et αct = 1,0 de l'annexe belge repris par le Condensé de l'Eurocode 2 (Febelcem, mai 2017).
- NBN EN 40-3-1, NBN EN 40-3-3 et NBN EN 40-5 — candélabres d'éclairage public : charges, vérification par le calcul, exigences des mâts en acier et marquage CE. L'édition 2013 de l'EN 40-3-1 vise les candélabres de 20 m de hauteur nominale au plus, crosse comprise. Valeurs non reproduites ici : la norme est payante.
- Synergrid C4/12, cahier général des charges 005, partie III (décembre 2007) — prescriptions pour la fourniture de candélabres d'éclairage public : vérification selon les NBN EN 40-3-1 et 40-3-3, tiges de fixation dimensionnées par le fabricant.
- Steel Buildings in Europe — Multi-Storey Steel Buildings, Part 3: Actions — annexe A : exemple chiffré du coefficient structural selon l'annexe B de l'EN 1991-1-4.
- Pré-dimensionnement, pas vérification de produit. La NBN EN 1991-1-4 renvoie les candélabres à la série EN 40 : la vérification NBN EN 40-3-3 et le marquage CE (NBN EN 40-5 pour l'acier) restent dus par le fabricant.
- Mât console d'une seule épaisseur, jusqu'à 50 m, sur site plat. Porte de visite, platine, soudures et emboîtements ne sont pas vérifiés. L'orographie (pente du terrain au-delà de 5 %) n'est pas traitée.
- Réponse dans le sens du vent uniquement. Le détachement tourbillonnaire (annexe E de la NBN EN 1991-1-4, normative en Belgique) et la fatigue sous vent ne sont pas calculés : un mât élancé et peu amorti doit y être examiné à part.
- Valeurs de l'EN là où l'annexe belge n'est pas publique. Les γM de l'acier, les coefficients de force et l'amortissement sont les valeurs recommandées de l'EN. La flèche admissible et le massif (NBN EN 1997-1) relèvent du cahier des charges et de l'étude géotechnique.