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Structure · Béton armé

Calcul de poutre béton armé — Eurocode 2

1  Géométrie

m
cm
cm

Pré-dim : h ≈ L/10 à L/12 · largeur courante 15-30 cm

2  Charges linéiques

kN/m
kN/m
Combinaison ELU—

pu = 1,35 G + 1,50 Q

3  Matériaux & exposition

Recommandé : si μu dépasse 0,372, on agrandit la section.

Exposition XC1 · béton armé ≥ C16/20 · cnom = 15 + 10 mm

Pré-dimensionnement d'une poutre isostatique rectangulaire selon la NBN EN 1992-1-1 et son annexe nationale belge (ANB) : αcc = 0,85 en flexion, 1,00 pour les bielles d'effort tranchant.

Vue schéma

Vérification globale

—taux max

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NBN EN 1992-1-1 · ANB

Logiciel de calcul en ligne d'une poutre en béton armé rectangulaire sur deux appuis, selon la NBN EN 1992-1-1 et son annexe nationale belge (ANB) : armatures longitudinales ELU, effort tranchant (méthode des bielles), enrobage par classe d'environnement de la NBN B 15-001, vérification de flèche simplifiée et note de calcul PDF.

Mis à jour le

Tout comprendre sur le calcul d'une poutre béton armé

Le dimensionnement d'une poutre en béton armé reste l'un des actes de conception les plus fréquents en bureau d'études. En Belgique, il relève de l'Eurocode 2 (NBN EN 1992-1-1) et de son annexe nationale belge (ANB). Le principe est simple : le béton reprend la compression, les armatures HA reprennent la traction que le béton fissuré ne peut pas équilibrer. L'ANB fixe les choix nationaux : αcc = 0,85 pour la flexion (l'Eurocode recommande 1,0), γc = 1,5 et γs = 1,15. La durabilité passe par les classes d'environnement de la NBN B 15-001 (EI, EE1 à EE4, ES1 à ES4), liées aux classes d'exposition de la NBN EN 206 (XC, XD, XS).

Les trois États-Limites à vérifier

  • ELU de flexion : la section d'acier tendue reprend le moment MEd = pu·L²/8. La méthode pivot A/B détermine le bras de levier z et l'armature requise.
  • ELU d'effort tranchant : si VEd dépasse la résistance VRd,c du béton seul, on dimensionne des cadres (méthode des bielles inclinées, §6.2.3 de l'EC2), en vérifiant au passage que les bielles de béton comprimé ne s'écrasent pas (VEd ≤ VRd,max).
  • ELS de flèche : le rapport L/d doit rester inférieur à la limite calculée (EC2 §7.4.2). En cas contraire, un calcul détaillé de flèche (méthode bilinéaire, §7.4.3) est requis.

Pivot A, pivot B : le langage du diagramme des déformations

À l'ELU, la section est supposée atteindre l'un de deux états de déformation limites. Au pivot A (μu ≤ 0.186), c'est l'allongement de l'acier tendu qui pilote la rupture : la zone comprimée est sous-exploitée, signe d'une section généreuse. Au pivot B (0.186 < μu ≤ 0.372), le béton atteint son raccourcissement ultime εcu = 3.5 ‰ pendant que l'acier plastifie : c'est le domaine visé en conception, à la fois économique et ductile. Au-delà de μlim ≈ 0.372, l'acier ne plastifie plus avant l'écrasement du béton : on augmente d'abord la hauteur h ou la classe de béton. Quand la hauteur est imposée, le mode « double armature » ajoute des aciers comprimés en nappe haute.

Choix des matériaux

Le couple C25/30 + BE 500 S (acier B500 de classe B) couvre la majorité des bâtiments courants : fcd = 0,85 × 25/1,5 ≈ 14,2 MPa en flexion et fyd = 500/1,15 ≈ 435 MPa. La NBN B 15-001 impose en outre une classe de béton minimale selon l'environnement : C16/20 en EI, C25/30 en EE2, C30/37 en EE3 ; l'outil le signale. Pour une poutre fortement chargée, monter en C30/37 ou C35/45 diminue le moment réduit μu à section égale.

Comment calculer une poutre en béton armé : la méthode pas à pas

L'idée générale tient en une phrase : on évalue les efforts que la poutre doit encaisser, puis on vérifie que le béton comprimé y résiste et on place juste assez d'acier pour reprendre la traction. Voici les 6 étapes, telles que le calculateur les déroule (NBN EN 1992-1-1 et son annexe nationale belge).

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Quel poids la poutre doit-elle porter ?

On additionne d'abord tout ce qui pèse en permanence sur la poutre : le plancher qu'elle porte, les revêtements, les cloisons et son propre poids (25 kN/m³ de béton armé). C'est la charge G. On ajoute ensuite ce qui peut s'y trouver ponctuellement (personnes, mobilier, stockage) : c'est la charge Q (en Belgique, 2,0 kN/m² en logement et 3,0 kN/m² en bureaux selon l'ANB de la NBN EN 1991-1-1, à multiplier par la largeur de plancher reprise). Par sécurité, la combinaison 6.10 de la NBN EN 1990 et de son ANB majore chacune de ces charges :

pu = 1.35 · G + 1.5 · Q

Cette charge pondérée fait fléchir la poutre. La flexion est maximale au milieu de la travée (c'est le moment MEd, en kN·m) et le cisaillement est maximal aux appuis (c'est l'effort tranchant VEd, en kN) :

MEd =
pu · L²8
;VEd =
pu · L2
2

La hauteur qui travaille vraiment : d

Toute la hauteur de la poutre ne « travaille » pas : les aciers tendus ne sont pas posés au ras du coffrage mais protégés par une couche de béton (l'enrobage) et par les cadres. La hauteur utile d mesure la distance entre le dessus de la poutre et le centre des barres. C'est elle, et non h, qui entre dans tous les calculs :

d = h − cnom − øcadre −
ø_l2

Exemple : une poutre de 45 cm en environnement intérieur sec EI (enrobage 25 mm, cadres de 8 mm, barres HA 16) a une hauteur utile d ≈ 45 − 2,5 − 0,8 − 0,8 ≈ 40,9 cm.

Quand les barres ne tiennent pas sur un seul lit, l'outil les répartit sur plusieurs et mesure d au centre de gravité de l'ensemble : la hauteur utile baisse, et la section d'acier est recalculée en conséquence.

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Le béton est-il assez costaud ? Le moment réduit μu

Avant de calculer l'acier, on vérifie que la zone de béton comprimé peut suivre. Le moment réduit μu est une sorte de jauge de remplissage : il compare le moment appliqué MEd à ce que la section de béton peut offrir (sa largeur b, le carré de sa hauteur utile d, et la résistance de calcul du béton fcd = 0,85·fck/1,5, avec le αcc de l'ANB) :

μu =
M_Edb · d² · f_cd
≤ 0.372

Tant que la jauge reste sous 0,372 (acier B500), tout va bien : la section se dimensionne en flexion simple, sans aciers comprimés. Au-delà, le béton s'écraserait avant que l'acier ne donne son plein rendement ; l'outil signale alors la section comme insuffisante, et la bonne réponse est d'augmenter la hauteur, la largeur ou la classe de béton. Si la hauteur ne peut pas bouger, le mode « double armature » bloque l'axe neutre à la limite et confie le surplus de moment à des aciers comprimés placés en haut de la poutre.

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Combien d'acier ? Le calcul de As

Dans une poutre fléchie, le béton comprimé en haut et l'acier tendu en bas forment un couple de forces, séparées par une distance appelée bras de levier z, un peu moins que d (typiquement z ≈ 0.9·d). Plus la section est sollicitée (μu élevé), plus la zone comprimée descend et plus z raccourcit. Le calcul exact passe par le coefficient α :

α = 1.25 · (1 − √(1 − 2·μu));z = d · (1 − 0.4 · α)

Il ne reste qu'à diviser : pour équilibrer le moment MEd avec un bras de levier z, l'acier doit fournir une traction MEd/z, et sa contrainte de calcul vaut fyd = 500/1.15 ≈ 435 MPa pour un B500 :

As =
M_Edz · f_yd

L'EC2 encadre ce résultat par deux bornes de bon sens (§9.2.1.1) : un minimum As,min pour que la poutre ne casse pas net à l'apparition de la première fissure, et un maximum As,max = 4 % de la section de béton pour que le béton puisse encore être coulé et vibré correctement. L'outil traduit ensuite les cm² obtenus en un nombre entier de barres : 7.0 cm² deviennent par exemple 4 HA 16.

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Résister au cisaillement près des appuis

Aux appuis, la poutre ne fléchit presque plus mais elle « cisaille » : les charges cherchent à faire glisser verticalement une tranche de béton par rapport à la suivante. Le béton seul oppose une résistance VRd,c, qui dépend de la taille de la section et du taux d'aciers longitudinaux ρl :

VRd,c = [0.18/γc · k · (100 · ρl · fck)1/3] · b · d

Si l'effort tranchant VEd dépasse cette valeur, il faut des cadres. Le modèle de l'EC2 (§6.2.3) assimile alors la poutre à un treillis : des diagonales de béton comprimé (les bielles) s'appuient sur les cadres qui jouent le rôle de montants tendus. L'outil retient l'inclinaison de bielle la plus simple et la plus sûre, θ = 45°, et en déduit la quantité de cadres par mètre :

A_sws
=
V_Ed0.9 · d · f_ywd · cot θ

Deux garde-fous complètent la vérification : les bielles de béton ne doivent pas s'écraser (VEd ≤ VRd,max), et même quand le béton seul suffit, on pose toujours un minimum de cadres, espacés d'au plus min(0.75 · d ; 300 mm).

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La poutre pliera-t-elle trop ? La flèche

Une poutre peut être assez résistante mais trop souple : fissures dans les cloisons, carrelage qui sonne creux, porte qui frotte. Plutôt que de calculer la déformation exacte, l'EC2 §7.4.2 propose un raccourci efficace : si le rapport entre la portée et la hauteur utile (l'élancement L/d) reste sous une limite qui dépend du taux d'armatures et de la classe de béton, la flèche est réputée acceptable (critère L/250) sans aucun calcul supplémentaire :

Ld
≤ K · [ 11 + 1.5 · √fck ·
ρ₀ρ
+ … ]

À retenir : plus une poutre est élancée et peu armée, plus cette limite devient contraignante. C'est souvent la flèche, et non la résistance, qui impose la hauteur des poutres longues et faiblement chargées.

Exemple chiffré, de bout en bout

Prenons une poutre de 20 × 45 cm sur 5,00 m de portée, en C25/30 et B500, en environnement intérieur sec (EI), portant G = 15 kN/m et Q = 10 kN/m.

  • Charge pondérée : pu = 1,35 × 15 + 1,5 × 10 = 35,25 kN/m
  • Sollicitations : MEd = 35,25 × 5²/8 ≈ 110,2 kN·m et VEd ≈ 88,1 kN
  • Hauteur utile (enrobage 25 mm, cadres 8 mm, HA 16) : d ≈ 40,9 cm
  • Moment réduit, avec fcd = 14,17 MPa : μu ≈ 0,232, sous 0,372 : la section convient
  • Bras de levier : z ≈ 35,4 cm, d'où As = MEd / (z · fyd) ≈ 7,15 cm² d'acier nécessaires
  • Ferraillage retenu : 4 HA 16 (8,04 cm² mis en place)

C'est exactement le cheminement que déroule le calculateur ci-dessus, vérifications d'effort tranchant et de flèche comprises, avec la note de calcul PDF correspondante.

Conseils & points de vigilance

  • Enrobage : 25 mm en intérieur sec (EI), 35 mm dès que l'intérieur est humide ou l'élément à l'extérieur sans gel (EE1), 40 mm à l'extérieur exposé au gel et à la pluie (EE3). Ces valeurs supposent la tolérance d'exécution courante de 10 mm.
  • Aciers de montage : toujours prévoir 2 HA 10 ou 2 HA 12 en partie supérieure pour tenir les cadres.
  • Armatures de peau : au-delà d'un mètre de hauteur, l'EC2 (§7.3.3) demande des aciers de peau répartis sur les joues de la poutre pour maîtriser la fissuration — à ajouter au plan de ferraillage, l'outil ne les calcule pas.
  • Arrêt des barres : l'épure d'arrêt des barres (décalage du diagramme des moments de aL = 0.9·d/2 environ) et le façonnage des cadres et épingles relèvent du plan de ferraillage, à établir à partir de la section d'acier calculée ici.
  • Ancrage en appui : longueur d'ancrage forfaitaire ≈ 40·ø (cas courant en bétons C25-C30 adhérence correcte) ; un crochet réduit cette longueur de 30 %.
  • Répartition des cadres : l'effort tranchant est maximal aux appuis et nul à mi-travée ; en pratique on resserre l'espacement près des appuis (premier cadre à environ s/2 du nu d'appui) puis on le relâche vers le centre, sans jamais dépasser sl,max.
  • Continuité : pour une poutre continue, le moment sur appui peut atteindre pu·L²/10 à pu·L²/12 et exige des aciers supérieurs en chapeau ; cet outil traite uniquement le cas isostatique.

Comment ce calcul est vérifié

Le moteur est couvert par une suite de tests automatisés. Elle s'appuie sur des références publiées, jamais sur les propres sorties de l'outil.

  • Les tableaux du Condensé de l'Eurocode 2 belge sont retrouvés. Les 119 rapports portée/hauteur utile de son tableau 15.9 sont restitués à 0,05 près, son arrondi. Les résistances à l'effort tranchant de ses tableaux 7.1 et 7.2 le sont au centième de MPa.
  • Les choix de l'annexe nationale belge sont contrôlés. La flexion utilise αcc = 0,85, les bielles d'effort tranchant αcc = 1,00 : le tableau 7.2 du Condensé n'est retrouvé qu'avec cette valeur.
  • La section d'acier est résolue à rebours. L'armature calculée, réinjectée dans l'équilibre de la section, redonne le moment appliqué, en simple comme en double armature.
  • Les enrobages publiés sont ceux de la NBN B 15-001. Pour les neuf classes d'environnement, l'enrobage affiché vaut le minimum de durabilité des Dossiers du CSTC, plus 10 mm de tolérance.
  • L'exemple chiffré de cette page sort du moteur. Il est recalculé à chaque évolution et contrôlé par les tests : une valeur affichée ne peut pas diverger du calculateur.
  • Les anciens calculs se rouvrent. Une classe d'exposition enregistrée avant la version belge (XC4…) est relue comme la classe belge équivalente la plus sévère.

Références

  • NBN EN 1992-1-1:2005 + A1:2015 et NBN EN 1992-1-1-ANB:2010 — Eurocode 2 : calcul des structures en béton, partie 1-1. Méthode de flexion (§ 6.1), effort tranchant (§ 6.2), flèche simplifiée (§ 7.4.2), enrobages (§ 4.4), minima d'armatures (§ 9.2).
  • NBN EN 1990:2002 + A1:2006 et NBN EN 1990-ANB:2013 — combinaison fondamentale 6.10 (1,35 G + 1,5 Q), valeurs de l'ANB lues dans la fiche Eurocode EN 1990 du CSTC et du NBN (août 2014).
  • Febelcem, Condensé de l'Eurocode 2, calcul selon les annexes nationales belges (mai 2017). Source de αcc = 0,85 en flexion et 1,00 pour les autres effets, et des tableaux de contrôle cités plus haut.
  • Les Dossiers du CSTC n° 3/2007, cahier 2 — correspondance entre classes d'exposition et classes d'environnement, enrobages minimaux de durabilité (classe S4).
  • NBN EN 206:2013+A1:2016 et NBN B 15-001:2018 — classes d'environnement et classes de résistance minimales, résumées par Buildwise (2018).

Questions Fréquentes (FAQ)

Pour une poutre isostatique courante en bâtiment, on retient h ≈ L/10 à L/12 (L en m). Pour une poutre continue, on peut descendre à L/14 voire L/16 grâce à la redistribution des moments. La largeur b est généralement comprise entre 0.3·h et 0.5·h, avec un minimum pratique de 15 à 20 cm pour loger les armatures et vibrer correctement le béton.

Le moment réduit μu = MEd / (b·d²·fcd) est un nombre sans dimension qui mesure le taux de sollicitation du béton comprimé. En Belgique, fcd = 0,85·fck/1,5 en flexion (αcc = 0,85 de l'ANB). Au-delà de μlim ≈ 0,372, l'acier B500 ne plastifie plus avant l'écrasement du béton : il faudrait des aciers comprimés, et l'on préfère agrandir la section ou monter en classe de béton. Si la hauteur est imposée, le mode « double armature » de l'outil calcule ces aciers comprimés.

Le pivot A (μu ≤ 0.186) correspond à une rupture pilotée par l'allongement de l'acier tendu : le béton comprimé est sous-utilisé. Le pivot B (0.186 < μu ≤ 0.372) correspond au domaine optimal où l'acier plastifie tandis que le béton atteint son raccourcissement ultime εcu = 3.5 ‰. Au-delà, l'acier ne plastifie plus avant l'écrasement du béton : la section devient inefficace et peu ductile.

Pour les bâtiments courants, l'EC2 §7.4.2 autorise une vérification simplifiée par le rapport portée / hauteur utile. Si L/d reste inférieur à la limite calculée par la formule (7.16), fonction du taux d'armatures ρ et de fck, la flèche est réputée acceptable sans calcul explicite : l'ANB belge reprend le tableau 7.4N de l'EN (14 et 20 pour une poutre sur deux appuis), établi pour une flèche après construction de l'ordre de portée/500. Sinon, un calcul détaillé de flèche (méthode bilinéaire, §7.4.3) est requis.

En Belgique, l'enrobage dépend de la classe d'environnement de la NBN B 15-001 : cnom = cmin,dur + 10 mm, soit 25 mm en EI (intérieur sec), 35 mm en EE1 ou EE2 (extérieur sans pluie battante ou intérieur humide), 40 mm en EE3 (gel et pluie), 45 mm en ES2 (air marin avec gel) et 55 mm en EE4 (sels de déverglaçage). Ces valeurs correspondent à la classe structurale S4 (50 ans), recommandée en Belgique. L'outil les applique aux cadres.

Si VEd dépasse VRd,c (résistance du béton seul, EC2 §6.2.2), il faut dimensionner des cadres par la méthode des bielles inclinées (§6.2.3). Même lorsque le béton suffit, une poutre reçoit toujours un ferraillage transversal minimal : ρw,min = 0,08·√fck / fyk, avec un espacement longitudinal d'au plus 0,75·d selon l'ANB. L'outil plafonne en outre cet espacement à 300 mm.

Cet outil traite la poutre rectangulaire sur deux appuis (isostatique), le cas le plus courant en maison unifamiliale et en rénovation : MEd = pu·L²/8 en travée, VEd = pu·L/2 aux appuis. Pour une poutre continue, le moment sur appui atteint pu·L²/10 à pu·L²/12 et exige des aciers en chapeau ; pour un porte-à-faux, le moment d'encastrement pu·L²/2 domine et les aciers principaux passent en partie supérieure. Ces deux configurations demandent un calcul spécifique, avec leurs propres combinaisons de travées chargées/déchargées.

Pour aller plus loin

Condensé de l'Eurocode 2 selon les ANB belges (Febelcem)febelcem.beFiche Eurocode EN 1990 : combinaisons de l'ANB (CSTC/NBN)buildwise.beSpécifier un béton selon la NBN EN 206 et la NBN B 15-001 (Buildwise)buildwise.be

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